Meine Dissertation

Ich wollte schon lang hier mal möglichst allgemeinverständlich erklären, was ich eigentlich so den lieben langen Tag mache, d.h. worum es denn ein meiner Dissertation eigentlich geht. Das ist gar nicht einfach, denn es ist ja auch schon schwierig genug, einem Mathematiker aus einem anderen Fachgebiet zu erklären, was man macht. Drum hatte ich dafür keine Zeit und werde das wohl erst nach Abschluss meiner Promotion machen können.

Aber ich musste kürzlich eine dreiseitige allgemeinverständliche Präsentation meines Promotionsprojekts verfassen und die veröffentliche ich hier, wo ich sie doch schon geschrieben habe. Drei Seiten ist aber etwas wenig, deshalb habe ich wahrscheinlich soviel weggelassen, dass man nicht mehr erkennen kann, was ich eigentlich mache, und soviel unverständliches reingeschrieben, dass man nichts verstehen kann… 😀 Aber urteilt selbst:


Im Folgenden möchte ich einen Überblick über das Forschungsgebiet und die wichtigsten Resultate meiner Dissertation geben, die ich in der ersten Hälfte des Jahres 2010 abschließen werde.

Dynamische Systeme

Das mathematische Konzept der dynamischen Systeme hat Anwendungen in vielen anderen Wissenschaften. So lassen sich etwa viele physikalische, chemische und biologische Prozesse mit dynamischen Systemen beschreiben, aber auch in den Wirtschaftswissenschaften wird dieser Zweig der Mathematik verwendet.

Ganz allgemein beschreibt ein dynamisches System die zeitliche Entwicklung eines Systems, beispielsweise die Bewegung eines Pendels, den Verlauf einer chemischen Reaktion oder die Bakterien-Population in
einer Petrischale.

Formal — und an dieser formalen Beschreibung ist man in der Mathematik interessiert — ist ein dynamisches System eine Abbildung \Phi, die einer Zeit t und einem Zustand x einen neuen Zustand \Phi_t x zuordnet — den Zustand, den das System nach Zeit t besitzt, wenn es anfangs im Zustand x war. Außerdem fordert man noch die Flusseigenschaft \Phi_{s+t} x = \Phi_s \Phi_t x für alle Zeiten t und s und alle Zustände x, d.h. wenn das System in x startet ist es nach Zeit s+t im selben Zustand wie, wenn es in \Phi_t x gestartet wäre und man es nach Zeit s betrachtete.

Die Zeit ist hier gewöhnlicherweise entweder eine reelle oder ganze Zahl — reell, wenn man den Zustand des Systems zu jedem Zeitpunkt beschreibt; ganzzahlig, wenn man das System nur in einzelnen diskreten Zeitpunkten betrachtet (z.B. für jeden Tag die mittlere Temperatur an einem Ort). Was die Menge der Zustände (der sogenannte Phasenraum) ist, hängt stark vom betrachteten System ab. Oft ist der Phasenraum der {\mathbb R}^n, ie die Menge der n-Tupel (x_1,\dots,x_n) reeller Zahlen, oder eine Teilmenge davon. Bei einem Pendel betrachtet man als Zustandsraum beispielsweise den {\mathbb R}^2, also Paare reeller Zahlen, wobei eine Komponente die Auslenkung des Pendels und die andere Komponente die Geschwindigkeit beschreibt.

Eine umfassende Einführung in die Theorie dynamischer Systeme findet sich bei Katok und Hasselblatt. [Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 2006.]

Kontrollsysteme

Wenn man das Verhalten eines dynamischen Systems steuern kann, wenn man also beispielsweise die Rotation eines Pendels mit einem Motor beeinflussen kann, oder die Wärmeverteilung in einem Raum durch Erhöhung der Temperatur eines Heizkörpers, dann lässt sich dies mit Hilfe eines Kontrollsystems modellieren. Dieser Teilbereich der Dynamischen Systeme hat seinen Ursprung und die meisten Anwender in den Ingenieurswissenschaften, aber z.B. auch in der Quantenphysik werden Methoden der Kontrolltheorie verwendet.

Formal wiederum lässt sich ein Kontrollsystem beschreiben durch eine Abbildung \Phi, die einer Zeit t, einem Zustand x und einer Kontrollfunktion u einen neuen Zustand \Phi_t^u x zuordnet — den Zustand, den das System nach Zeit t besitzt, wenn es anfangs im Zustand x war und man zur Zeit s die Kontrolle u(s) angewendet hat.

Eine umfassende Monographie über Kontrollsysteme ist das Buch [The Dynamics of Control. Systems and Control: Foundations & Applications. Birkhäuser, 2000.] von Colonius und Kliemann.

Frequenzanalyse

Ein Detail, das man an dynamischen und Kontrollsystemen untersuchen kann, sind Spektral- und Rotationseigenschaften. Ein einfaches Beispiel ist die Existenz von periodischen Trajektorien, d.h. von Zuständen, die regelmäßig durchlaufen werden. Ein Pendel wird beispielsweise, wenn keine Reibung auftritt, periodisch hin- und herschwingen.

Bei der Analyse von Funksignalen muss man dagegen aus mehreren sich überlappenden Schwingungen diejenigen mit der richtigen Frequenz herausfiltern. Dies gelingt mit Methoden der Fourier-Analyse. Die hierbei verwendeten Fourier-Transformationen sind verwandt mit den in meiner Arbeit untersuchten sogenannten harmonischen Grenzwerten.

Mit Hilfe dieser harmonischen Grenzwerte kann man nachweisen, dass ein System Rotationsverhalten aufweist, in dem Sinne, dass man das System in die komplexe Zahlenebene projizieren kann, sodass die Dynamik dort zu einer einfachen Rotation um die Null wird.

Formal lässt sich dieses Rotationsverhalten dadurch beschreiben, dass man eine nicht konstante Funktion F hat, die Zustände auf komplexe Zahlen abbildet, sodass F ( \Phi_t x ) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} F(x) für alle Zeiten t und alle Zustände x gilt, mit einer reellen Zahl \omega, welche die Frequenz der Rotation bestimmt. Man kann zeigen, dass solches Rotationsverhalten gleichbedeutend damit ist, dass der harmonische Grenzwert nicht verschwindet.

Resultate

In meiner Dissertation habe ich die harmonischen Grenzwerte eingehend untersucht, sowohl für zeit-diskrete dynamische Systeme (d.h. für ganze Zahlen als Zeit), für zeit-kontinuierliche dynamische Systeme (d.h. für reelle Zahlen als Zeit) und für Kontrollsysteme. Hierbei konnte ich einige grundlegende Eigenschaften beweisen, beispielsweise was man aus dem Langzeitverhalten oder der Existenz von periodischen Trajektorien, d.h. von Zuständen, die regelmäßig durchlaufen werden, über die harmonischen Grenzwerte folgern kann. Die wichtigsten weiteren Resultate sind die folgenden:

Für zeit-diskrete Systeme, die periodisch durch bestimmte Teilmengen des Zustandsraums „hüpfen“ konnte ich zeigen, dass man mit Hilfe der harmonischen Grenzwerte diese Teilmengen rekonstruieren kann. Dies gelingt auch numerisch anhand von Messwerten sehr gut.

Als wichtige Klasse von zeit-kontinuierlichen Systemen habe ich Lösungen von linearen Differentialgleichungen \dot x = A x betrachtet, wobei A eine komplexe oder reelle n \times n-Matrix ist. Hierbei konnte ich einen Zusammenhang der auftretenden Frequenzen mit den Eigenschaften der Matrix A zeigen (genauer: den Imaginärteilen der Eigenwerte).

Für Kontrollsysteme habe ich das sogenannte Kontrollspektrum eingeführt, d.h. die Menge aller Frequenzen, die mit Kontrollen aus einer vorgegebenen Klasse von Kontrollfunktionen erzeugt werden können. Für viele Systeme zeigt sich hier, dass man mit beliebig kleinen Kontrollen beliebige Frequenzen erzeugen kann.

Fazit

Mit dieser Arbeit habe ich die Ideen von Mezic und Banaszuk aus [„Comparison of systems with complex behavior“. In: Phsyica D 197 (2004), S. 101–133.] auf solide und mathematisch präzise Beine gestellt, und sie auf zeit-kontinuierliche dynamische Systeme und Kontrollsysteme verallgemeinert. Außerdem konnte ich einige neue Einsichten in diese Methode der Frequenzanalyse geben.

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2 Kommentare

  1. Coole Ideen hast du da, auch wenn ich nur ungefähr ¼ davon verstehe 😉
    Habe die Seite über Quez entdeckt, weil ich da mal deine 10 Fragen beantwortet habe. Willst du nicht mal wieder ein paar neue stellen? Ist ein bisschen ruhig da im Moment 😉

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